Paradoxurile implicației materiale

Implicația logică și problemele sale…

Paradoxurile implicației materiale reprezintă un grup de formule ce sunt adevăruri ale logicii clasice, dar care, în mod intuitiv par a fi problematice. Unul dintre aceste paradoxuri este paradoxul implicației.


Voi continua să promovez recenzumatele pe care le consider importante! Azi îți recomand (aproape) traducerea cărții lui Julian Baggini și Peter Fosl, „Trusa cu instrumente ale filosofului: un compendiu al conceptelor și metodelor filosofice”. E drept că trebuie să precizez: acest conținut este rezervat doar abonaților GOLD
Dar, aș îndrăzni să spun că merită!

Esența acestor paradoxuri constă într-o nepotrivire între interpretarea validității implicației în limbajul natural și interpretarea sa formală în logica clasică, provenind din logica algebrică a lui George Boole. În logică, implicația descrie afirmații condiționale dacă-atunci, de exemplu, „dacă plouă, atunci voi aduce o umbrelă”, cărora în logica clasică li se oferă o interpretare de adevăr funcțional prin intermediul reformulării acestora în termeni de disjuncție și negație, în acest exemplu, „nu plouă, sau voi aduce o umbrelă, sau ambele”. Această interpretare de adevăr-funcțional a implicației se numește implicație materială.

Paradoxurile sunt date formal de formulele:

  1. (\neg p \land p) \rightarrow q, care este paradoxul implicării
  2. p \rightarrow (q \rightarrow p)
  3. \neg p \rightarrow (p \rightarrow q)
  4. p \rightarrow (q \lor \neg q)

Paradoxurile implicației materiale apar din cauza definiției adevăr-funcționale a condiționalului material – adică dacă/atunci – afirmații sub care se spune că un condițional este adevărat doar pentru că antecedentul este fals sau consecința este adevărată. După acest criteriu, „Dacă luna este făcută din brânză verde, atunci lumea se apropie de sfârșit”, este adevărat doar pentru că luna nu este făcută din brânză verde. Prin extensie, orice contradicție implică orice, deoarece o contradicție nu este niciodată adevărată. (Toate logicile paraconsistente trebuie, prin definiție, să respingă punctul 1. ca fals.) Pe de altă parte, „Dacă Rapid va fi campioană I la fotbal anul viitor, atunci Unirea Urziceni a fost campioană în 2009”, este adevărat pur și simplu pentru că Unirea Urziceni a fost campioană în 2009. Prin extensie, orice tautologie este implicată de orice, deoarece o tautologie este întotdeauna adevărată.

Paradoxul implicației

Fiind cel mai cunoscut dintre paradoxuri și cel mai simplu din punct de vedere formal, paradoxul implicației este cea mai bună introducere.

În limbajul natural, apare un exemplu al paradoxului implicării:

Plouă

Și

Nu plouă

Prin urmare

George Washington este făcut din plastic.

Aceasta decurge din principiul exploziei, o lege a logicii clasice care afirmă că premisele inconsistente fac întotdeauna un argument valid; adică premisele inconsecvente implică orice concluzie. Acest lucru pare paradoxal, deoarece sugerează că cele de mai sus prezintă un argument valid.

Înțelegerea paradoxului implicației

Validitatea este definită în logica clasică după cum urmează:

Un argument (format din premise și o concluzie) este valid dacă și numai dacă nu există o situație posibilă în care toate premisele să fie adevărate, iar concluzia să fie falsă.

De exemplu, un argument ar putea funcționa astfel:

Dacă plouă, apa exista (prima premisă)
Plouă (a doua premisă)
Există apă (concluzie)

În acest exemplu nu există nicio situație posibilă în care premisele sunt adevărate în timp ce concluzia este falsă. Deoarece nu există un contra-exemplu, argumentul este valid.

Dar s-ar putea construi un argument în care premisele sunt inconsistente. Acest lucru ar satisface testul pentru un argument valid, deoarece nu ar exista o situație posibilă în care toate premisele sunt adevărate și, prin urmare, nicio situație posibilă în care toate premisele sunt adevărate și concluzia este falsă.

De exemplu, un argument cu premise inconsistente ar putea arăta așa:

Materia are masă (prima premisă; adevărat)
Materia nu are masă (a doua premisă; falsă)
Toate numerele sunt egale cu 42 (Concluzie)

Deoarece nu există o situație posibilă în care ambele premise ar putea fi adevărate, atunci cu siguranță nu există o situație posibilă în care premisele ar putea fi adevărate în timp ce concluzia a fost falsă. Deci argumentul este valid oricare ar fi concluzia; premisele inconsistente implică toate concluziile.

Explicarea paradoxului

Ciudățenia paradoxului implicării provine din faptul că definiția validității în logica clasică nu este întotdeauna de acord cu utilizarea termenului în limbajul obișnuit. În utilizarea de zi cu zi, validitatea sugerează că premisele sunt consistente. În logica clasică, este introdusă noțiunea suplimentară de soliditate. Un argument solid este un argument valid cu toate premisele adevărate. Prin urmare, un argument valid cu un set inconsecvent de premise nu poate fi niciodată solid. O îmbunătățire sugerată a noțiunii de validitate logică pentru a elimina acest paradox este logica relevantă (Relevance logic).

Simplificare

Formulele paradoxale clasice sunt strâns legate de formula,

(p \land q) \rightarrow p

principiul Simplificării, care poate fi derivat destul de ușor din formulele paradoxale (de exemplu din (1) prin Importare). În plus, există probleme serioase în încercarea de a folosi implicația materială ca reprezentând limba engleză/română „if … then … / dacă … atunci …”. De exemplu, următoarele sunt concluzii valide:

  1. (p \rightarrow q) \land (r \rightarrow s) \vdash (p \rightarrow s) \lor (r \rightarrow q)
  2. (p \land q) \rightarrow r \vdash (p \rightarrow r) \lor (q \rightarrow r)

Click pentru afișare (+)/ascundere(-) detalii operatori logici
  • \rightarrow semnifică implicație, „presupune că”;
  • \land este simbolul caret/circumflex cu semnificația „și”;
  • \vdash însemnă demonstrabil, dovedibil (x \vdash y însemnă că y e demonstrabil pentru x (într-un anumit sistem formal definit);
  • \lor este simbolul caret inversat, cu sensul „sau”;

Dar, maparea acestora înapoi la propoziții în engleză/română folosind „if/dacă” va conduce la paradoxuri. Prima ar putea fi citită

Dacă John este la Londra, atunci este în Anglia, iar dacă este la Paris, atunci este în Franța. Prin urmare, fie este adevărat că dacă John este la Londra, atunci este în Franța, fie că dacă este la Paris, atunci este în Anglia.”

Fie John este la Londra, fie John nu este la Londra. Dacă John este la Londra, atunci John este în Anglia. Astfel, propozițiadacă John este la Paris, atunci John este în Anglia” este validă pentru că avem cunoștințe prealabile ce conduc la adevărul concluziei. Dacă John nu se află la Londra, atunci propozițiadacă John este la Londra, atunci John este în Franța” este adevărată, deoarece avem cunoștințe prealabile că premisa este falsă.

A doua poate fi citită așa:

Dacă ambele comutatoare A și B sunt închise, atunci lumina este aprinsă. Prin urmare, este fie adevărat că dacă comutatorul A este închis, lumina este aprinsă, fie dacă comutatorul B este închis, lumina este aprinsă.”

Dacă cele două comutatoare sunt în serie, atunci premisa este adevărată, dar concluzia este falsă. Astfel, folosirea logicii clasice și implicația materială pentru semnificația dacă-atunci este o metodă nesigură de raționament care poate da rezultate eronate.

Discuție

Hai să detaliem un pic…

În logica propozițională, implicația materială este o regulă validă de înlocuire care permite înlocuirea unei declarații condiționate (dacă …, atunci …) cu o disjuncție în care antecedentul este negat. Regula spune că P implică Q este echivalent logic cu not-P sau Q și că oricare dintre forme o poate înlocui pe cealaltă în dovezi logice. Cu alte cuvinte, dacă P este adevărat, atunci Q trebuie să fie de asemenea adevărat, în timp ce dacă Q nu este adevărat, atunci P nu poate fie adevărat; în plus, când P nu este adevărat, Q poate fi ori adevărat, ori fals.

P \rightarrow Q \Leftrightarrow \neg P \lor Q

unde „\Leftrightarroweste un simbol metalogic însemnând „poate fi înlocuit într-o dovadă cu”, iar P și Q sunt orice afirmații logice date.

Exemplificare cu următoarele afirmații:

  • P: Sam a mâncat o portocală la prânz
  • Q: Sam a mâncat un fruct la prânz

Acum, a spune „Sam a mâncat o portocală la prânz” înseamnă „Sam a mâncat un fruct la prânz” (P \rightarrow Q). În mod logic, dacă Sam nu a mâncat un fruct la prânz, atunci Sam nici nu ar fi putut mânca o portocală la prânz (prin contrapoziție). Cu toate acestea, doar a spune că Sam nu a mâncat o portocală la prânz nu oferă informații despre dacă Sam a mâncat sau nu un fruct (de orice fel) la prânz.

Un alt exemplu găsit aici, este:

…luați în considerare afirmația „Dacă cocobolo este un lemn tropical, atunci bosonul Higgs a fost descoperit în 2013”. Deoarece bosonul Higgs a fost într-adevăr descoperit în 2013, aceasta este o afirmație adevărată și este o afirmație adevărată chiar dacă cocobolo este sau nu un lemn tropical. În orice afirmație dacă/atunci, dacă rezultatul este adevărat, afirmația în sine este adevărată indiferent dacă antecedentul său este sau nu adevărat. Este suficient de bine; cu excepția faptului că ce legătură are cocobolo cu descoperirea bosonului Higgs?

Iată tabelul de adevăr al implicației dacă/atunci:

X Y X \rightarrow Y
T T T
T F F
F T T
F F T

 

Resurse suplimentare

Navigare în cadrul seriei< Paradoxul loterieiParadoxul corbului >
MIHAI Sandu
Ultimele postari ale lui MIHAI Sandu (vezi toate)
close

Ținem legătura!

Nu facem spam! Citiți politica noastră de confidențialitate pentru mai multe informații.

close

wp-content/uploads/2021/10/image-and-text-2.jpg:: Seria „Paradoxuri matematice” ::


Serie de articole dedicată unor paradoxuri matematice, având la bază cartea lui Sindy Dunbar „Logic & Mathematical Paradoxes”


Acesta e articolul 6 din 7 al seriei „Paradoxuri matematice”
error

Vă place conținutul? Vă rog, distribuiți :)

fb-share-icon
Share
error: Conținut protejat!