Problema monedei îndoite

Lui Matei și Luizei le plac jocurile de noroc. Totuși, ei continuă să piardă. Într-o zi, Matei are o idee. Dacă pariază unul împotriva celuilalt – nu pot pierde amândoi. Așa că aleg să dea cu banul (aruncând o monedă în sus) și câștigătorul să primească un leu.

Matei aruncă primul moneda, iar Luiza strigă „pajură”. Apare însă „cap”. Matei câștigă. Luiza strigă „pajură” la următoarea aruncare, iar pentru următoarele douăzeci de aruncări continuă să iasă „cap”. Luiza crede că moneda este îndoită și își schimbă alegerea în „cap”. La următoarea aruncare, moneda arată „pajură”. „Tipic!” glumește Luiza când vede asta, dar după ce se întâmplă același lucru pentru următoarele treizeci și nouă de aruncări, toate ieșind „cap”, lucrurile arată destul de sumbru. Ea mai încearcă de douăzeci de ori, strigând „pajură”, aruncând ea însăși moneda, dar acum moneda favorizează capete. „Astăzi ești destul de ghinionistă!” spune Matt, punând în buzunar încă două bancnote de câte zece lei. „Șansele ca acest lucru să se întâmple trebuie să fie minuscule!”, exclamă Luiza, cuprinsă de resentimente.

Dar Matei își dă seama că, de fapt, combinația de capete și pajure nu este mai mult sau mai puțin improbabilă decât orice altă combinație de capete și pajure. Și că, per total, numărul de capete și cozi este cam ceea ce ar fi de așteptat.

Cine are dreptate?

Matt trebuie să aibă dreptate. De fiecare dată când o monedă este aruncată, există o șansă de 50-50 ca aceasta să iasă cap sau pajură. (Desigur, pentru o monedă „corectă”). Putem măsura acest lucru prin experimente – pur și simplu aruncarea unei monede de o mie de ori și contorizarea numărului de capete și pajure este de aproximativ 500–500 – sau pe-acolo. Dar nimic nu „face” moneda să cadă pajură – chiar și după o serie lungă anterioară de capete. Cu cât aruncăm moneda de mai multe ori, cu atât proporțiile par să se stabilească în acest sens. Dar nu e obligatoriu – cu excepția cazului în care aruncăm moneda de un număr infinit de ori. Problema pentru Luiza nu e aceea este că moneda nu este îndoită deloc – ci doar aceea că, deși credem că douăzeci de capete unul după altul este puțin probabil… Dar, universul este indiferent față de model.

Tom Stoppard descrie bătălia dintre Rosencrantz și Guildenstern la aruncarea monedelor – de nouăzeci de ori ies capete (în piesa „Rosencrantz și Guildenstern sunt morți”, 1966). Pare puțin probabil, dar să presupunem, ca și Luiza: Guildenstern își schimbă alegerea din când în când – și totuși continuă să piardă constant. Este mai puțin „improbabil”? (Această prejudecată psihologică este uneori cunoscută sub numele de eroarea jucătorului.)

Contează? Ei bine, s-ar putea. Dacă, de exemplu, un reactor nuclear este sigur, cu excepția cazului în care se întâmplă o serie de evenimente rare, avem tendința de a înmulți probabilitățile împreună (se măsoară în fracții) – ca o cheie să cadă în miezul reactorului, ca sistemul de avertizare să se defecteze, sistemul de avertizare de rezervă fiind dezactivat, personalul adormit – să iasă cu o probabilitate foarte, foarte mică, de genul „unul la o mie de milioane”. Dar, spre deosebire de monede, nu putem repeta situația la infinit până când probabilitățile statistice se echilibrează. Într-un anumit sens, un rezultat dintr-o mie de milioane este la fel de probabil ca oricare dintre celelalte mii de milioane de posibilități individuale să fie următorul!

Dacă nu ești convins, ia în considerare șansele statistice ca un pachet de cărți bine amestecat să fie împărțit la patru jucători de whist (jocul în care o culoare are atu și încerci să câștigi „trucuri”) și fiecare jucător să ajungă cu toate cărțile dintr-un singură suită. De fapt, este foarte puțin probabil: aproximativ o șansă din 2.235.197.406.895.366.368.301.600.000, conform unui calcul făcut în 1939 de Horace Norton de la University College London. Cât de puțin probabil este asta? Ei bine, altfel spus, dacă toată populația lumii, să zicem că este vorba despre un miliard de oameni, ar juca 100 de jocuri pe zi, în fiecare zi a anului, timp de un milion de ani, șansele împotriva ei sunt încă de o sută la unu. Cu toate acestea, de mai multe ori, astfel de mâini câștigătoare au fost întâlnite. Un astfel de caz i-a implicat pe pensionarii de la Bucklesham Village Whist Club care, în ianuarie 1998, au fost foarte amuzați când (după ce doamna Hazel Ruffles, 64 de ani, a amestecat bine cărțile) unul dintre jucători a anunțat că are treisprezece atuuri. Apoi au fost din ce în ce mai uimiți, deoarece fiecare dintre jucători a descoperit că și ei aveau mâini complete de o singură culoare, la fel ca, desigur, mâna „marionetă”, cu fața în jos, de pe masă.

morala e aceea că, dacă locuiești lângă o centrală nucleară, ia în considerare să te muți.